x² + 2y² + z² - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0

<=> ( x² - 2xy + y² ) + ( y² - 2y + 1 ) + ( z² - 4z + 4 ) = 0

<=> ( x - y )² + ( y - 1 )² + ( z - 2 )² = 0

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{cases}}\forall x;y;z\)=> ( x - y )² + ( y - 1 )² + ( z - 2 )²\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z

Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)( 1 )

Thay ( 1 ) vào A , ta được :

\(A=\left(1-1\right)^{2020}+\left(1-2\right)^{2020}+\left(2-3\right)^{2020}=0+1+1=2\)

Vậy A = 2

Ta có: \(x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-4z+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=0\)

Mà \(VT\ge0\left(\forall x,y,z\right)\) nên dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2y^3-6y^2+7y-3=-2x\sqrt{1-x}+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2\left(y^3-3y^2+3y+1\right)+y-1=2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^3+y-1=2\left(\sqrt{1-x}\right)^3+\sqrt{1-x}\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=2t^3+t\)

\(f'\left(t\right)=6t^2+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

Nên (1) tương đương: \(y-1=\sqrt{1-x}\Rightarrow y=1+\sqrt{1-x}\)

\(\Rightarrow P=x+2\sqrt{1-x}+2=-\left(1-x-2\sqrt{1-x}+1\right)+4=-\left(\sqrt{1-x}-1\right)^2+4\le4\)

⇒ P = x + 2 √ 1 − x + 2

= − ( 1 − x − 2 √ 1 − x + 1 ) + 4

= − ( √ 1 − x − 1 ) 2 + 4 ≤ 4

Cho xin một like đi các dân chơi à.

a)

Ta có: $2x^2+2y^2=5xy \Leftrightarrow 2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5$

Đặt $t=\frac{x}{y}$, ta có $2t+\frac{1}{t}=5 \Rightarrow 2t^2-5t+1=0$

Giải phương trình trên ta được $t_1=\frac{1}{2}$ và $t_2=1$. Vì $0<x<y$ nên $t>0$, do đó $t=\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$.

Từ đó suy ra $x=\frac{y}{2}$ và thay vào biểu thức $E$ ta được:

$E=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{\frac{y^2}{4}+y^2}{\frac{y^2}{4}-y^2}=-\frac{5}{3}$

Vậy kết quả là $E=-\frac{5}{3}$.

đặt $a=\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$, $b=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$

Khi đó:
$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$
$$a^3+b^3=\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\right)^3= \frac{1}{3-2\sqrt{2}}+(3-2\sqrt{2})=4$$
$$ab=\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\cdot\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\sqrt[3]{1}=1$$
Do đó, ta có:
$$(a+b)^3=4+3ab(a+b)=4+3(a+b)$$
Vậy $2x^3=2(a+b)^3=8+6(a+b)$ và $6x=6(a+b)$.
Thay vào biểu thức $P$, ta được:
$$P=\left(2x^3-6x+2008\right)^{2021}=\left(8+6(a+b)-6(a+b)+2008\right)^{2021}=2016^{2021}$$
Vậy kết quả là $P=2016^{2021}$.

Đáp án B.

Từ giả thiết, suy ra

Xét hàm số f ( t ) = 5 t - 1 3 t + t  trên ℝ .

Đạo hàm  f ' ( t ) = 5 t . ln 5 - ln 3 3 t + 1 > 0 ,   ∀ t ∈ ℝ ⇒ hàm số f ( t ) luôn đồng biến trên  ℝ .

Suy ra

Do y > 0 nên x + 1 x - 2 > 0 ⇔ [ x > 2 x < - 1 . Mà x > 0  nên  x > 2 .

Từ đó T = x + y = x + x + 1 x - 2 . Xét hàm số g ( x ) = x + x + 1 x - 2 trên 2 ; + ∞ .

Đạo hàm

Lập bảng biến thiên của hàm số trên  2 ; + ∞ , ta thấy min   g ( x ) = g ( 2 + 3 ) = 3 + 2 3 .

Vậy T m i n = 3 + 2 3 khi x = 2 + 3  và  x = 1 + 3 .